Question

已知反比例函數y=和一次函數y=2x-1，其中一次函數的圖象經過（a，b），（a+k，b+k+2）兩點．
（1）求反比例函數的解析式？
（2）已知A在第一象限，是兩個函數的交點，求A點坐標？
（3）利用②的結果，請問：在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）把（a，b），（a+k，b+k+2）代入一次函數的解析式，得出方程組，求出k即可；
（2）解由反比例函數和一次函數的解析式組成發的方程組，求出方程組的解即可；
（3）根據等腰三角形的判定，有三種情況：①當OA=OP時，有2個點符合；②當OA=AP時，有1個點符合；③當AP=OP時，有1個點符合．
解答：解：（1）∵一次函數y=2x-1的圖象經過（a，b），（a+k，b+k+2）兩點，
代入得：，
解得：k=2，
代入反比例函數的解析式得：y==，
∴反比例函數的解析式是y=．

（2）解方程組
得：，，
∴兩函數的交點坐標是（-，-2），（1，1），
∵交點A在第一象限，
∴A（1，1）．

（3）在x軸上存在點P，使△AOP為等腰三角形，
理由是：分為三種情況：①以O為圓心，以OA為半徑作圓，交x軸于兩點C、D，此時OA=0C=0D，
∴當P于C或D重合時，△AOP是等腰三角形，此時P的坐標是（，0），（-，0）；
②以A為圓心，以OA為半徑作圓，交x軸于兩點E，此時OA=AE，
∴當P于E重合時，△AOP是等腰三角形，此時P的坐標是（2，0）；
③作OA的垂直平分線交x軸于F，此時AF=OF，
∴當P于F重合時，△AOP是等腰三角形，此時P的坐標是（1，0）；
∴存在4個點P，使△AOP是等腰三角形．
點評：本題考查了用待定系數法求反比例函數的解析式，一次函數與反比例函數的交點問題，等腰三角形的判定等知識點的運用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，用的數學思想是分類討論思想，題目比較好，有一定的難度．