Question

如圖所示，菱形ABCD的邊長為6厘米，∠B=60度．從初始時刻開始，點P、Q同時從A點出發，點P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向運動，點Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向運動，當點Q運動到D點時，P、Q兩點同時停止運動，設P、Q運動的時間為x秒時，△APQ與△ABC重疊部分的面積為y平方厘米（這里規定：點和線段是面積為O的三角形），解答下列問題：
（1）點P、Q從出發到相遇所用時間是______秒；
（2）點P、Q從開始運動到停止的過程中，當△APQ是等邊三角形時x的值是______秒；
（3）求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）菱形ABCD的邊長為6厘米，∠B=60°，則易證△ABC是等邊三角形，邊長是6厘米．點P、Q從出發到相遇，即兩人所走的路程的和是18cm．設從出發到相遇所用的時間是x秒．列方程就可以求出時間．
（2）當P在AC上，Q在AB上時，AP≠AQ，則一定不是等邊三角形，當△APQ是等邊三角形時，Q一定在邊CD上，P一定在邊CB上，若△APQ是等邊三角形，則CP=DQ，根據這個相等關系，就可以得到一個關于x的方程，就可以得到x的值．
（3）求y與x之間的函數關系式．應根據0≤x＜3和3≤x＜6以及6≤x≤9三種情況進行討論．把x當作已知數值，就可以求出y．就可以得到函數的解析式．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC
又∵∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
因而邊長是6．設點P，Q從出發到相遇所用的時間是x秒．
根據題意得到x+2x=18，解得x=6秒．

（2）若△APQ是等邊三角形，
此時點P在BC上，點Q在CD上，且△ADQ≌△ACP，
則CP=DQ，即x-6=18-2x，解得x=8；

（3）①當0≤x＜3時，
y=S_△AP1Q1==．（5分）
②當3≤x＜6時，
y=S_△AP2Q2
=
=sin60°
=
=-x（7分）
③當6≤x≤9時，設P₃Q₃與AC交于點O．
（解法一）
過Q₃作Q₃E∥CB交AC于E，則△CQ₃E為等邊三角形．
∴Q₃E=CE=CQ₃=2x-12
∵Q₃E∥CB
∴△COP₃∽△EOQ₃
∴
∴OC=（2x-12）
y=S_△AOP3
=S_△ACP3-S_△COP3
=sin60°
=
=-；
（解法二）
如圖，過點O作OF⊥CP₃于點F，OG⊥CQ₃，于點G，
過點P₃作P₃H⊥DC交DC延長線于點H．
∵∠ACB=∠ACD
∴OF=OG
又CP₃=x-6，CQ₃=2x-12=2（x-6），
∴S_△COP3=
∴




又S_△ACP3=×AC×sin60°
=
=（x-6）
∴
=
=
=-（10分）
點評：本題主要考查了利用圖形的關系求函數的解析式．注意數形結合是解決本題的關鍵．