Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半徑為1的⊙A與邊AB相交于點D，與邊AC相交于點E，連接DE并延長，與線段BC的延長線交于點P．
（1）連接AP，若∠B=30°，且△AEP與△BDP相似，則CE的長為    ；
（2）若CE=2，BD=BC，則tan∠BPD的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據∠B=30°，∠ACB=90°可得∠BAC=60°，從而得到△ADE是等邊三角形，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠BPD=30°，然后根據等角對等邊的性質可得BD=PD，再根據△AEP與△BDP相似可得PE=AE，然后根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解；
（2）設BD=BC=x，表示出AB、AC的長度，然后利用勾股定理列式求出x的值為4，過點C作CF∥DP交AB于點F，再根據平行線分線段成比例定理求出DF=2，然后求出BF的長度，再次利用平行線分線段成比例定理求出CP的長度，然后根據正切值的定義解答．
解答：解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
在△BDP中，∠ADE=∠B+∠BPD，
即60°=30°+∠BPD，
解得∠BPD=30°，
∴∠B=∠BPD，
∴BD=PD，
∵△AEP與△BDP相似，
∴AE=PE，
∵⊙A的半徑為1，
∴PE=1，
在Rt△PCE中，CE=PE=；

（2）設BD=BC=x，
∵⊙A的半徑為1，CE=2，
∴AB=x+1，AC=2+1=3，
∵∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
即3²+x²=（x+1）²，
解得x=4，
過點C作CF∥DP交AB于點F，
則=，=，
即=，
解得DF=2，
∴BF=BD-DF=4-2=2，
又由CF∥DP可得=，
即=，
解得CP=4，
∴tan∠BPD===．
故答案為：（1），（2）．
點評：本題考查了相似三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理的應用，平行線分線段成比例定理，等角對等邊的性質，利用計算中數據的相等是解題的關鍵．