Question

已知如圖1，線段AB、CD相交于點O,連結AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”. 那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數學知識呢？下面就請你發揮聰明才智，解決以下問題：
【小題1】在圖1中，請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系,并說明理由；

【小題2】仔細觀察，在圖2中“8”字形”的個數      個；
【小題3】在圖2中，若∠D=40⁰,∠B=36⁰，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N.利用（1）的結論，試求∠P的度數；

【小題4】如果圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系．（直接寫出結論即可）。

Answer 1

【小題1】∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，  
∴∠A+∠D=∠C+∠B；    (2分)
【小題2】①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；
②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；
③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；
④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；
⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；
⑥線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6個；     (2分)     （寫到3個得1分）
【小題3】∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②     
∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P=∠D+∠B，                        
又∵∠D=50°，∠B=40° ∴2∠P=50°+40°，
∴∠P=45°；
【小題4】關系：2∠P=∠D+∠B．解析:
∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系根據這四個角分別是兩個三角形的內角，根據三角形的內角和定理就可以得到．根據以上的結論，以及角平分線的定義就可以求出∠P的度數．