Question

【題目】如圖（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分線OC交AB于C，過O點作與OB垂直的直線ON．動點P從點B出發沿折線BC﹣CO以每秒1個單位長度的速度向終點O運動，運動時間為t秒，同時動點Q從點C出發沿折線CO﹣ON以相同的速度運動，當點P到達點O時P、Q同時停止運動．

（1）求OC、BC的長；

（2）當t＝1時，求△CPQ的面積；

（3）當P在OC上Q在ON上運動時，如圖（2），設PQ與OA交于點M，當t為何值時，△OPM為等腰三角形？求出所有滿足條件的t值．

Answer 1

【答案】（1）OC＝2，BC＝2；（2）S△PQC＝；（3）t為或時，△OPM是等腰三角形．

【解析】

（1）求出∠B，根據直角三角形性質求出OA，求出AB，在△AOC中，根據勾股定理得出關于OC的方程，求出OC即可；

（2）如圖1﹣1中，作CH⊥PQ于H．當t＝1時，P在BC上，Q在OC上，CQ＝OQ＝PC＝PB＝1，求出PQ，CH即可解決問題．

（3）有三種情況：①OM＝PM時，求出OP＝2OQ，代入求出即可；②PM＝OP時，此時不存在等腰三角形；③OM＝OP時，過P作PG⊥ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG＝t﹣2，即可求出答案．

解：（1）∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，

∴∠B＝30°，

∴OA＝OB＝，

由勾股定理得：AB＝3，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，

∴OC＝BC，

在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，

∴（）2+（3﹣OC）2＝OC2，

∴OC＝2＝BC，

∴OC＝2，BC＝2．

（2）如圖1﹣1中，作CH⊥PQ于H．當t＝1時，P在BC上，Q在OC上，CQ＝OQ＝PC＝PB＝1，

∴PQ∥OB，

∴∠CPQ＝∠B＝30°，

∵CQ＝CP．CH⊥QP，

∴QH＝PH，

∴CH＝PC＝，QH＝PH＝CH＝，

∴QP＝

∴S△PQC＝PQCH＝××＝．

（3）如圖（2）所示：

∵ON⊥OB，

∴∠NOB＝90°，

∵∠B＝30°，∠A＝90°，

∴∠AOB＝60°，

∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠BOC＝30°，

∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，

①OM＝PM時，

∠MOP＝∠MPO＝30°，

∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，

∴OP＝2OQ，

∴2（t﹣2）＝4﹣t，

解得：t＝，

②PM＝OP時，

此時∠PMO＝∠MOP＝30°，

∴∠MPO＝120°，

∵∠QOP＝60°，

∴此時不存在；

③OM＝OP時，

過P作PG⊥ON于G，

OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，

∴∠OPG＝30°，

∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），

∵∠AOC＝30°，OM＝OP，

∴∠OPM＝∠OMP＝75°，

∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，

∴PG＝QG＝（4﹣t），

∵OG+QG＝OQ，

∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2，

解得：t＝．

綜合上述：當t為或時，△OPM是等腰三角形．