Question

為了美化社區環境，某小區準備對門口的一塊矩形空地ABCD重新進行綠化，已知矩形的邊長AB=10m，BC=20m，綠化方案如下：在矩形ABCD中間的一塊四邊形EFGH地面上種花，剩下的其它四塊地面上鋪設草坪，并要AH=CF=2AE=2CG．在滿足上述條件的所有設計中，求出使四邊形EFGH面積最大的AE的長和此時四邊形EFGH的面積．

Answer 1

解：設AE=x，則AH=CF=2x，BE=DC=10-x，BF=DH=20-2x，
∴四邊形EFGH的面積S=10×20-2×x•2x-2×（10-x）（20-2x），
即S=-4x²+40x，
又∵S=-4（x-5）²+100，
由題意，得0＜x＜10，而0＜5＜10，
∴當AE=5m時，四邊形EFGH的面積最大，最大面積是100m²．
分析：先設AE=x，根據圖形，可知S_{四邊形EFGH}=S_矩形-S_△BEF-S_△DGH-S_△AEH-S_△GFC，由已知條件及矩形性質可得：△BEF≌△DGH，△AEH≌△CGF，即S_{四邊形EFGH}=S_矩形-2S_△BEF-2S_△AEH=-4（x-5）²+100．因為0＜x＜10，故x=5，S有最大值．
點評：本題利用了全等的三角形面積相等，以及矩形的性質，二次函數求最大值的問題．