Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線交BC于D，交AB于點E，F在DE上，并且AF

=CE．
（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；
（2）當∠B的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形？請證明你的結論；
（3）四邊形ACEF有可能是矩形嗎？為什么？

Answer 1

（1）證明：∵ED是BC的垂直平分線，
∴EB=EC．
∴∠3=∠4．
∵∠ACB=90°，
∴∠2與∠4互余，∠1與∠3互余，
∴∠1=∠2．
∴AE=CE．
又∵AF=CE，
∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．
∴AF=AE，
∴∠F=∠5，


∵FD⊥BC，AC⊥BC，
∴AC∥FE．
∴∠1=∠5．
∴∠1=∠2=∠F=∠5，
∴∠AEC=∠EAF．
∴AF∥CE．
∴四邊形ACEF是平行四邊形．

（2）當∠B=30°時，四邊形ACEF是菱形．證明如下：
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠1=∠2=60°．
∴∠AEC=60°．
∴AC=EC．
∴平行四邊形ACEF是菱形．

（3）四邊形ACEF不可能是矩形．理由如下：
由（1）可知，∠2與∠3互余，
∠3≠0°，∴∠2≠90°．
∴四邊形ACEF不可能是矩形．