Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，對角線AC與BD交于點(diǎn)P，下面給出5個論斷：①AB//CD；②AP=PC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD//BC．

(1)若用論斷①和④作為條件，試證四邊形ABCD是矩形．

(2)請你另選取兩個能推出四邊形ABCD為矩形的論斷．如：_________和_________、___________和________________(不證明，用序號表示即可)．

(3)若選取論斷③和⑤作為條件，能推出四邊形ABCD為矩形嗎?若能，請給出證明；若不能，請舉反例說明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）如：①和③，或②和③，或④和③；理由見詳解；（3）不能，理由見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到由這兩個條件組成的四邊形為有一個角是直角的平行四邊形即可判定矩形．

（2）利用矩形的三種判定方法即可得到結(jié)論；

（3）不能，因?yàn)橐唤M對邊平行，而另一組對邊相等的還有可能是等腰梯形．

解：①AB//CD；②AP=PC；③AВ=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD//BC．

（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠BAD+∠DCB=180°，

又∵∠BAD=∠DCB，

∴∠BAD=∠DCB=90°

∵AB//DC

∴∠BAD+∠ADC=180°，∠ADC=90°，

故四邊形ABCD是矩形；

（2）如：①AB//CD和③AB=CD；

在四邊形ABCD中，

∵AB//CD，AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，

∵∠BAD+∠DCB=180°，

∴∠ABC=∠DCB，

∵∠ABC+∠DCB=180°，

∴∠ABC=∠DCB=90°，

∴平行四邊形ABCD是矩形；

如：②AP=PC和③AB=CD；

∵∠ACD=∠ABD，AP=PC，AB=CD，

∴△ABP≌△DCP，

∴BP=DP，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠BAD+∠ABC=180°，

∵∠BAD+∠DCB=180°，

∴∠ABC=∠DCB，

∵∠ABC+∠DCB=180°，

∴∠ABC=∠DCB=90°，

∴平行四邊形ABCD是矩形；

如：③AB=CD和④∠BAD=∠DCB；

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠BAD+∠DCB=180°，

∴∠BAD=∠DCB=90°，

∵∠BAC=∠BDC，AB=CD，∠ABD=∠ACD，

∴△ABP≌△DCP，

∴AP=CP，BP=DP，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵∠BAD=∠DCB=90°，

∴四邊形ABCD是矩形；

（3）不能，如圖，

∵AD//BC，AB=DC，∠B≠90°，

∴四邊形ABCD不是矩形．