Question

（2004•錦州）如圖，⊙O與⊙P相交于B、C兩點，BC是⊙P的直徑，且把⊙O分成度數的比為1：2的兩條弧，A是上的動點（不與B、C重合），連接AB、AC分別交⊙P于D、E兩點．
（1）當△ABC是銳角三角形（圖①）時，判斷△PDE的形狀，并證明你的結論；
（2）當△ABC是直角三角形、鈍角三角形時，請你分別在圖②、圖③中畫出相應的圖形（不要求尺規作圖），并按圖①標記字母；
（3）在你所畫的圖形中，（1）的結論是否成立？請就鈍角的情況加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為BC將圓O分成1：2兩條弧，那么弧BC的度數就是120°，我們要利用這個度數來求解，連接DC，那么∠BAC=60°，而BC是圓P的直角，那么∠ACD=30°，而∠ACD所對的弧DE，圓P的圓心角∠DPE也正好對著這條弧，因此根據圓周角定理可得出∠DPE=60°，而PD=PE，因此三角形PDE是等邊三角形；
（3）結論仍然成立，方法與（1）相同．
解答：解：（1）△PDE是等邊三角形，連DC．
∵弦BC把⊙O分成度數的比為1：2的兩條弧，
∴的度數為120°，
∴∠BAC=60°
又∵BC為⊙P的直徑，∴∠BDC=90°，
又∵∠A=60°，
∴∠DCA=30°，
∴∠DPE=60°
又∵PD=PE，
∴△PDE是等邊三角形；

（2）如圖②、圖③即為所畫圖形；

（3）圖②和圖③中△PDE仍為等邊三角形．
證明：如圖③，連接BE、DC
∵BC為⊙P的直徑，
∴∠BDC=90°
又∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°
又∵四邊形DBEC是⊙P的內接四邊形，
∴∠DBE=∠DCA=30°，∠DPE=60°
又∵PD=PE，
∴△PDE是等邊三角形．
點評：本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定等知識點，根據圓周角定理得出角的度數或倍數關系是解題的關鍵．