Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點的坐標(biāo)為，直線與軸相交于點，連結(jié)，拋物線沿射線方向平移得到拋物線，拋物線與直線交于點，設(shè)拋物線的頂點的橫坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式（用含的式子表示）；

（2）連結(jié)，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；

（3）點為軸上的動點，以為直角頂點的與相似，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3） 1或3或4

【解析】

（1）先求出OA的解析式，然后根據(jù)點M的橫坐標(biāo)求出縱坐標(biāo)，即可求出平移的距離，然后利用二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律即可得到拋物線的解析式；

（2）分兩種情況，點P在A點上方和點P在A點下方，分別畫出相應(yīng)的圖象，然后分情況討論即可求出m的值，進一步即可求出P點的坐標(biāo)；

（3）利用相似三角形的性質(zhì)，分和兩種情況，然后利用相似三角形的性質(zhì)進行討論即可得出答案．

（1）設(shè)直線OA的解析式為，

將代入解析式中得 ，解得 ，

∴直線OA解析式為 ．

∵拋物線的頂點在OA上，且橫坐標(biāo)為，

∴，

∴ ．

∵拋物線，

∴拋物線的解析式為；

（2）∵P點的橫坐標(biāo)為2，

∴縱坐標(biāo)為，

．

若點P在A點上方，如圖

，

，

∴ ，

解得（舍去）或 ，

當(dāng)時，，

∴點P的坐標(biāo)為 ；

若點P在A點下方，如圖，作線段OD交AB于點D，使，過點D作OA的垂線交OA的延長線于點N，交OP的延長線于點，

點D的坐標(biāo)即點P在點A上方時點P的坐標(biāo)，所以．

∵直線OA解析式為，，

∴設(shè)直線的解析式為 ，

將點D的坐標(biāo)代入得， ，

∴直線的解析式為．

設(shè)的坐標(biāo)為，則 且，

解得（即點D的坐標(biāo)），

∴．

設(shè)直線的解析式為，

將代入解析式中得 ，解得，

∴直線解析式為．

當(dāng)時，，

∴點P的坐標(biāo)為 ，

綜上所述，點P的坐標(biāo)為或；

（3）如圖，若 ，則有 ，

∴ ．

過點M作 交AB于點G，過點Q作交AB于點H，

∵，

．

，

，

，

，

即，

解得或 ；

同理，若 ，解得或,

當(dāng)時，拋物線與拋物線重合，故舍去，

綜上所述，m的值為1或3或4．