Question

如果一個(gè)圓的直徑和它的一條弦長(zhǎng)分別為a、b，且這條弦的弦心距是正有理數(shù)，又已知a、b都是兩位正整數(shù)，它們的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字剛好互換位置．則a²+b²的值是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)a=10x+y，b=10y+x，0＜y＜x＜10，x，y∈N，根據(jù)這條弦的弦心距是正有理數(shù)即可求出a與b的值，從而得出答案．

解答：解：設(shè)a=10x+y，b=10y+x，0＜y＜x＜10，x，y∈N，
∵這條弦的弦心距是正有理數(shù)，
∴

( a 2 )2-( b 2 )2

∈正有理數(shù)，
即

3

2

11(x2-y2)

是有理數(shù)必有x²-y²=11×t²，t∈N，且x²-y²=11×t²≤81，
得t=1或2 當(dāng)t=1時(shí)，符合條件的x、y為6、5，
即a=65，b=56，當(dāng)t=2時(shí)，無(wú)符合條件的x、y，
綜上，a=65，b=56，
∴a²+b²=7361，
故答案為：7361．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了完全平方數(shù)及十進(jìn)制表示法，難度一般，關(guān)鍵是正確設(shè)出a，b的表示形式．