Question

【題目】如圖,Rt△ABC中,∠B＝90°,O是AB上的一點,以O為圓心,OB為半徑的圓與AB交于點E,交AC于點D,其中DE∥OC

（1）求證：AC為⊙O的切線；

（2）若AD＝,且AB、AE的長是關于x的方程x2－4x＋k＝0的兩個實數根,求⊙O的半徑、CD的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）半徑是1，CD=

【解析】

（1）連接OD，由等腰三角形的性質和平行線的性質證得∠CDO=∠CBO=90°，可得∠ODA=90°即可；
（2）在直角三角形OAD中根據勾股定理和跟與系數的關系求出k的值，再求出AB和AE的長，可求出半徑長，在直角三角形ABC中根據勾股定理建立方程可求出CD的長．

（1）連接OD，
∵DE∥OC，
∴∠DEB=∠COB，∠DOC=∠ODE．
∵∠ODE=∠OED，
∴∠DOC=∠BOC．
∵OD=OD，OC=OC，
∴∠CDO=∠CBO=90°．
∴∠ODA=90°．
∴AC是⊙O的切線．

（2）設AB=a、AE=b,

∵AB、AE的長是關于x的方程x2－4x＋k＝0的兩個實數根，

則ab=k，

∴OA=，OD=

由（1）得：∠ODA=90°．

∵AD＝

在Rt△AOD中，根據勾股定理得：

∴ab=3
∴k=3

∴原方程為x2－4x＋3＝0

解得：

故AB=3,AE=1, ⊙O的半徑為=1

∵∠B=90°，AC是⊙O的切線，
∴DC=BC，
設CD=x，在Rt△ABC中，AC=x+，AB=3，BC=x，
∴x2+32＝(x+)2，
解得，x=

∴CD＝

即⊙O的半徑為1，CD＝