Question

已知：如圖，一塊三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的AB邊上，并且使一條直角邊經過點C，三角板的另一條直角邊與AD交于點Q。
（1）請你寫出此時圖形中成立的一個結論（任選一個）；
（2）當點P滿足什么條件時，有AQ+BC=CQ，請證明你的結論；
（3）當點Q在AD的什么位置時，可證得PC=3PQ，并寫出論證的過程。

Answer 1

解：（1）△APQ∽△BCP； （2）當P為AB中點時，有AQ+BC=CQ， 證明：連接CQ，延長QP交CB的延長線于點E， 可證△APQ≌△BPE， 則AQ=BE，PQ= PE， 又因為CP⊥QE，可得CQ= CE， 所以AQ+BC=CQ； （3）當AQ=時，有PC=3PQ， 證明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=BC=AB， 又因為直角三角板的頂點P在邊AB上， 所以∠1+∠2=180°-∠QPC=90°， 因為Rt△CBP中，∠3+∠2=90°， 所以∠1=∠3， 所以△APQ∽△BCP， 所以 因為AQ=， 所以 所以AP=，或AP=（不合題意，舍去）， 所以， 所以PC=3PQ。