Question

已知：如圖，一塊三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的AB邊上，并且使一條直角邊經過點C，三角板的另一條直角邊與AD交于點Q．
（1）請你寫出此時圖形中成立的一個結論（任選一個）．
（2）當點P滿足什么條件時，有AQ+BC=CQ？請證明你的結論．
（3）當點Q在AD的什么位置時，可證得PC=3PQ？并寫出論證的過程．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質，以及直角三角形的性質即可判斷；
（2）連接CQ，延長QP，交CB的延長線于點E．可證△APQ≌△BPE．即可證得：CQ=CE，據此即可證得；
（3）首先證得：△APQ∽△BCP，然后對三角形的對應邊，分兩種情況討論即可求解．

解答：解：（1）△APQ∽△BCP．（答案不唯一）

（2）當P為AB中點時，有AQ+BC=CQ．
證明：連接CQ，延長QP，交CB的延長線于點E．
可證△APQ≌△BPE．
則AQ=BE，PQ=PE．
又因為CP⊥QE，可得CQ=CE，
所以AQ+BC=CQ．

（3）當AQ=

2

9

AD時，有PC=3PQ．
證明：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=BC=AB．
又因為直角三角板的頂點P在邊AB上，
所以∠1+∠2=180°-∠QPC=90°．
因為Rt△CBP中，∠3+∠2=90°，
所以∠1=∠3．
所以△APQ∽△BCP．
所以

PQ

PC

=

AQ

BP

=

AP

BC

．因為AQ=

2

9

AD=

2

9

AB，
所以

2 9 AB

AB-AP

=

AP

AB

．所以AP=

1

3

AB，或AP=

2

3

AB（不合題意，舍去）．
所以

PQ

PC

=

AP

BC

=

AP

AB

=

1

3

．
所以PC=3PQ．

點評：本題主要考查了正方形的性質，以及相似三角形的判定與性質，正確進行討論是關鍵．