Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB邊上且DE⊥BE．

（1）判斷直線AC與△DBE外接圓的位置關系，并說明理由；

（2）若AD＝6，AE＝6，求△DBE外接圓的半徑及CE的長．

Answer 1

【答案】（1）直線AC與△DBE外接圓相切，理由見解析；（2）外接圓的半徑為3，CE的長為2

【解析】

（1）連接，根據直線與圓相切的判定定理，需證明，即，已知，則需證明，根據等腰三角形結合平分的條件即可證明.

（2）根據已知條件，可設圓的半徑為，在中根據勾股定理列方程解答即可；求，可過作于，根據角平分線的性質可得，故在中用等面積法求即可.

解：（1）直線AC與△DBE外接圓相切．理由：

∵DE⊥BE

∴BD為△DBE外接圓的直徑

取BD的中點O（即△DBE外接圓的圓心），連接OE

∴OE＝OB

∴∠OEB＝∠OBE

∵BE平分∠ABC

∴∠OBE＝∠CBE

∴∠OEB＝∠CBE

∵∠CBE+∠CEB＝90°

∴∠OEB+∠CEB＝90°

即OE⊥AC

∴直線AC與△DBE外接圓相切；

（2）設⊙O的半徑為r，則在Rt△AOE中，AD＝6，AO＝r+6，AE＝6，

OA2＝OE2+AE2，

即：（r+6）2＝r2+（6）2，

解得：r＝3

則△BDE的外接圓的半徑為3．

過點E作EF⊥AB于F，

∵BE平分∠ABC，∠C＝90°

∴EF＝EC

在Rt△AOE中，AO＝6+3＝9，

EF＝

∴CE＝EF＝2

∴外接圓的半徑為3，CE的長為2．