Question

（2009•萊蕪）已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．
（1）求證：EG=CG；
（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45°，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）將圖①中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論（均不要求證明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG．
（2）結論仍然成立，連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點；再證明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再證出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再證明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后證出CG=EG．
（3）結論依然成立．還知道EG⊥CG．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB=90°，
在Rt△FCD中，
∵G為DF的中點，
∴CG=FD，
同理，在Rt△DEF中，
EG=FD，
∴CG=EG．

（2）解：（1）中結論仍然成立，即EG=CG．
證法一：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．
在△DAG與△DCG中，
∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG=CG；
在△DMG與△FNG中，
∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴△DMG≌△FNG（ASA），
∴MG=NG；
在矩形AENM中，AM=EN，
在△AMG與△ENG中，
∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，
∴△AMG≌△ENG（SAS），
∴AG=EG，
∴EG=CG．
證法二：延長CG至M，使MG=CG，
連接MF，ME，EC，
在△DCG與△FMG中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴△DCG≌△FMG．
∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
∴MF∥CD∥AB，
∴EF⊥MF．
在Rt△MFE與Rt△CBE中，
∵MF=CB，EF=BE，
∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB．
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，
∴△MEC為直角三角形．
∵MG=CG，
∴EG=MC，
∴EG=CG．

（3）解：（1）中的結論仍然成立．理由如下：
過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC，過F作FN垂直于AB于N．
由于G為FD中點，易證△CDG≌△MFG，得到CD=FM，
又因為BE=EF，易證∠EFM=∠EBC，則△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G為CM中點，
∴EG=CG，EG⊥CG．
點評：本題利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質、全等三角形的判定和性質．