Question

如圖，半徑為1的⊙O₁與x軸交于A、B兩點，圓心O₁的坐標(biāo)為（2，0），二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過A、B兩點，其頂點為F．
（1）求b，c的值及二次函數(shù)頂點F的坐標(biāo)；
（2）將二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象先向下平移1個單位，再向左平移2個單位，設(shè)平移后圖象的頂點為C，在經(jīng)過點B和點D（0，-3）的直線l上是否存在一點P，使△PAC的周長最小？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知圓心O₁的坐標(biāo)為（2，0），半徑為1，可知A（1，0），B（3，0），將兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式可求b、c的值，將拋物線解析式寫成頂點式，可求頂點F坐標(biāo)；
（2）由（1）可知拋物線頂點坐標(biāo)為（2，1），平移后頂點坐標(biāo)為C（0，0），易求直線l的解析式為y=x-3，根據(jù)直線l的特殊性，可求點A關(guān)于直線l的對稱點A₁的坐標(biāo)，再求直線CA₁的解析式，將直線CA₁的解析式與直線l的解析式聯(lián)立，解方程組可求P點坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意得，A（1，0），B（3，0），
則有

-1+b+c=0  -9+3b+c=0 .

．
解得

b=4  c=-3 .

（2分）
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1．
∴頂點F的坐標(biāo)為（2，1）．（3分）

（2）將y=-（x-2）²+1平移后的拋物線解析式為y=-x²，其頂點為C（0，0）．（4分）
∵直線l經(jīng)過點B（3，0）和點D（0，-3），
∴直線l的解析式為y=x-3．（5分）
作點A關(guān)于直線l的對稱點A₁，連接BA₁、CA₁，
∴AA₁⊥直線l，
設(shè)垂足為E，則有A₁E=AE，
由題意可知，∠ABE=45°，AB=2，
∴∠EBA₁=45°，A₁B=AB=2．
∴∠CBA₁=90°．
過點A₁作CD的垂線，垂足為F，
∴四邊形CFA₁B為矩形．
∴FA₁=OB=3．
∴A₁（3，-2）．（6分）
∴直線CA₁的解析式為y=-

2

3

x．（7分）
∵

y=- 2 3 x y=x-3.

的解為

x= 9 5 y=- 6 5 .

∴直線CA₁與直線l的交點為點P（

9

5

，-

6

5

）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法，平移，點的對稱點坐標(biāo)的確定，以及直線解析式的確定方法，求直線交點坐標(biāo)的問題．