Question

如圖，在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（3，4）、（m，0），且AO=AB．
（1）求m的值；
（2）設P是邊OB上的一個動點，過點P的直線l平分△AOB的周長，交△AOB的另一邊于點Q．試判斷由l及△AOB的兩邊圍成的三角形的面積s是否存在最大（或最小）值？若存在，求出其值，說明此時所圍成的三角形的形狀，并求直線l的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）作AD⊥x軸于D，則交點D的坐標為（3，0），根據等腰三角形的性質得出OB=2OD即可求出；
（2）根據勾股定理求出OA，設點P的坐標為（x，0），則PB=6-x，①當點Q在AB上時，PB+QB=

1

2

（AO+AB+OB）=8，求出QB=x+2，作QE⊥x軸，交點為E，證Rt△ABD∽Rt△QBE，得出

QE

AD

=

QB

AB

，求出QE=

4

5

(x+2)，根據三角形的面積公式即可求出面積的最大值和等腰三角形QPB，即可得出P、Q的坐標，設l的解析式為y=k₁x+b₁，ba P、Q的坐標代入得到方程組，求出方程組的解即可得到直線1；當Q在AO上時，由對稱性可知，當x=4時，S_最大值=

32

5

，求出點P、Q的坐標，設直線1的解析式是y=k₂x+b₂，把P、Q的坐標代入得到方程組，求出方程組的解即可．

解答：解：（1）作AD⊥x軸于D，則交點D的坐標為（3，0），
∵AO=AB，
∴OB=2OD=6，即m=6，
答：m的值是6．

（2）解：在Rt△AOD中，AO=

AD2+OD2

=5，
設點P的坐標為（x，0），則PB=6-x，
①當點Q在AB上時，
PB+QB=

1

2

（AO+AB+OB）=8，即QB=x+2，
作QE⊥x軸，交點為E，
∵∠ABD=∠QBE，∠ADB=∠QEB，
∴Rt△ABD∽Rt△QBE，
∵

QE

AD

=

QB

AB

，即QE=

4

5

(x+2)，
∴S=

1

2

•PB•QE=

1

2

(6-x)•

4

5

(x+2)=-

2

5

(x-2)2+

32

5

，
當x=2時，S_最大值=

32

5

，
此時PB=QB=4，即△QPB是等腰三角形QE=

4

5

×4=

16

5

，EB=

QB2-QE2

=

42-( 16 5 )2

=

12

5

，OE=OB-EB=

18

5

，
∴點P、Q的坐標分別為（2，0），（

18

5

，

16

5

）
設l的解析式為y=k₁x+b₁，
∴

2k1+b1=0 18 5 k1+b1= 16 5

，
∴

k1=2 b1=-4

，
即l：y=2x-4；
②當Q在AO上時，
∵OA=AB，
∴點Q與①中的點Q關于直線AD對稱，
由對稱性可知，同法可求，當x=4時，S_最大值=

32

5

此時OP=OQ=4，△QOP是等腰三角形．
此時，點P、Q的坐標分別為（4，0）、(

12

5

，

16

5

)
設l的解析式為y=k₂x+b₂
∴

4k2+b2=0 12 5 k2+b2= 16 5

，
∴

k2=-2 b2=8

，
即l：y=-2x+8，
答：由l及△AOB的兩邊圍成的三角形的面積s存在最大值，其值是

32

5

，此時所圍成的三角形的形狀是等腰三角形，直線l的解析式是y=2x-4或y=-2x+8．

點評：本題主要考查對一次函數的性質，勾股定理，用待定系數法求一次函數的解析式，解二元一次方程組，等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的面積，二次函數的最值等知識點的理解和掌握，此題是一個綜合性比較強的題目，題型較好，難度適中．