Question

（2011•紅橋區一模）在平面直角坐標系中．四邊形OABC各點的坐標分別是O（O，O），A（4．O），B（3，3），C（1，

3

），那么順次連接這個四邊形各邊的中點，得到的新的四邊形是（　　）

A．菱形

B．矩形

C．正方形

D．等腰梯形

Answer 1

分析：在平面直角坐標系中描出已知的四個點，連接出四邊形OABC，找出四邊的中點分別為M，N，P，Q，連接OB，AC，過C作CE垂直于x軸，過B作BF垂直于x軸，由A，B，C的坐標得到OE，CE，OF，BF及OA的長，在直角三角形OBF及直角三角形ACE中，分別利用勾股定理求出OB及AC的長，得到OB=AC，然后由MN為三角形OAC的中位線，利用三角形中位線定理得到MN平行于AC，且MN等于AC的一半，同理得到PQ平行于AC，且等于AC的一半，可得出MN于PQ平行且相等，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到MNPQ為平行四邊形，再由PN為三角形OAB的中位線，利用中位線定理得到PN等于OB的一半，由OB=AC，得到PN=MN，根據鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出MNPQ為菱形．

解答：解：在平面直角坐標系中描出四個點，如圖所示：

過C作CE⊥x軸，作BF⊥x軸，設M，N，P，Q分別為OC，OA，AB，BC的中點，
∵A（4，0），B（3，3），C（1，

3

），O（0，0），
∴CE=

3

，AE=OA-OE=4-1=3，
在Rt△ACE中，根據勾股定理得：AC=

CE2+AE2

=3

2

，
又BF=3，OF=3，
在Rt△OBF中，利用勾股定理得：OB=

BF2+OF2

=3

2

，
∴AC=OB，
又M為OC的中點，N為OA的中點，即MN為△OAC的中位線，
∴MN∥AC，MN=

1

2

AC，
同理PQ∥AC，PQ=

1

2

AC，NP=

1

2

OB，
∴PQ=MN，PQ∥MN，
∴四邊形MNPQ為平行四邊形，
又PQ=

1

2

AC，NP=

1

2

OB，且AC=OB，
∴PQ=NP，
則四邊形MNPQ為菱形．
故選A

點評：此題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定，勾股定理，以及坐標與圖形性質，熟練掌握定理與性質是解本題的關鍵．