Question

如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F分別是OB，OD的中點．（1）試說明四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若AC=2，AB=1．若AC⊥AB，求線段BD的長．

Answer 1

分析：（1）在平行四邊形ABCD中，AC與BD互相平分，OA=OC，OB=OD，又E，F為OB，OD的中點，所以OE=OF，所以AC與EF互相平分，所以四邊形AECF為平行四邊形；
（2）首先根據平行四邊形的性質可得AO=CO，BO=DO，再利用勾股定理計算出BO的長，進而可得BD的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F為OB，OD的中點，
∴OE=OF，
∴AC與EF互相平分，
∴四邊形AECF為平行四邊形；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC=2，
∴AO=2，
∵AB=1，AC⊥AB，
∴BO=

AB2+AO2

=

1+1

=

2

，
∴BD=2

2

．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質，關鍵是掌握平行四邊形對角線互相平分．