Question

【初始問題】如圖1，已知兩個同心圓，直線AD分別交大⊙O于點A、D，交小⊙O于點B、C．AB與CD相等嗎？請證明你的結論．

【類比研究】如圖2，若兩個等邊三角形ABC和A₁ B₁ C₁的中心（點Ｏ）相同，且滿足AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁，AC∥A₁C₁，可知AB與A₁B₁，BC與B₁C₁，AC與A₁C₁之間的距離相等.直線MQ分別交三角形的邊于點M、N、P、Q，與AB所成夾角為∠α（30°＜∠α＜90°）．

1.（１）求（用含∠α的式子表示）；

2.（２）求∠α等于多少度時，MN = PQ．

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：【初始問題】結論：AB = CD．      ……………………… 1分

證明：如圖，作OE⊥AD于E．

∴ AE=ED，BE=EC．      …………………………………………… 2分

∴ AE-BE=ED-EC．

即 AB=CD．      ……………………………………………………… 3分

【類比研究】（1）如圖，作ND⊥AB于D，PE⊥AC于E．  ……… 4分

則 ND=PE．

∵ AB∥A₁B₁，

∴ ∠1=∠α．

∵ 等邊三角形A₁ B₁ C₁中，∠A₁=60°，

∴ ∠2=120°-∠1=120°-∠α．

∵ AC∥A₁C₁，

∴ ∠PQE=∠2=120°-∠α．

∵ 30°＜∠α＜90°，

∴ 30°＜120°-∠α＜90°．

∴ 在Rt△MDN和Rt△QEP中，

DN=MN，PE= PQ．    …………………… 6分

∴MN= PQ．

∴． 

2.（2）當120°-∠α =∠α時，即∠α = 60°時，MN=PQ．

【解析】略