Question

【初始問題】如圖1，已知兩個同心圓，直線AD分別交大⊙O于點A、D，交小⊙O于點B、C．AB與CD相等嗎？請證明你的結論．
【類比研究】如圖2，若兩個等邊三角形ABC和A₁ B₁ C₁的中心（點Ｏ）相同，且滿足AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁，AC∥A₁C₁，可知AB與A₁B₁，BC與B₁C₁，AC與A₁C₁之間的距離相等.直線MQ分別交三角形的邊于點M、N、P、Q，與AB所成夾角為∠α（30°＜∠α＜90°）．

【小題1】（１）求（用含∠α的式子表示）；
【小題2】（２）求∠α等于多少度時，MN = PQ．

Answer 1

【小題1】解：【初始問題】結論：AB = CD．     ……………………… 1分
證明：如圖，作OE⊥AD于E．
∴ AE=ED，BE=EC．     …………………………………………… 2分
∴ AE-BE=ED-EC．
即AB=CD．     ……………………………………………………… 3分
【類比研究】（1）如圖，作ND⊥AB于D，PE⊥AC于E． ……… 4分
則ND=PE．
∵AB∥A₁B₁，
∴ ∠1=∠α．
∵等邊三角形A₁ B₁ C₁中，∠A₁=60°，
∴ ∠2=120°-∠1=120°-∠α．
∵AC∥A₁C₁，
∴ ∠PQE=∠2=120°-∠α．
∵30°＜∠α＜90°，
∴ 30°＜120°-∠α＜90°．
∴ 在Rt△MDN和Rt△QEP中，
DN=MN，PE= PQ．   …………………… 6分
∴MN= PQ．
∴． 
【小題2】（2）當120°-∠α =∠α時，即∠α = 60°時，MN=PQ．

解析