Question

【題目】小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明進行了以下探索：

設a＋b＝(m＋n)2(其中a、b、m、n均為正整數)，則有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，

∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.這樣小明就找到了一種把a＋b的式子化為平方式的方法．

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

（1）當a、b、m、n均為正整數時，若a＋b＝(m＋n)2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝ , b＝ .

（2）利用所探索的結論，找一組正整數a、b、m、n填空： + = ( + )2；(答案不唯一)

（3）若a＋4＝(m＋n)2 ,且a、m、n均為正整數,求a的值．

Answer 1

【答案】(1) m+3n，2mn.;(2) 4、2、1、1;(3)13

【解析】試題分析：

（1）把等式的右邊展開，合并，即可得到用含“m、n”表達的a和b；

（2）本題答案不唯一，先給m、n任意賦值，如m=1，n=1，結合（1）中所得結論即可計算得到對應的a和b的值；

（3）由（1）中結論結合可得： ，結合m、n均為正整數分情況討論求得m、n的值，即可求得對應的a的值了.

試題解析：

（1）∵a+b=(m+n)，

∴a+b=m+3n+2mn，

∴a=m+3n，b=2mn.

故答案為：m+3n，2mn.

（2）本題答案不唯一，若設m=1，n=1，

∴a=m+3n=4，b=2mn=2.

故答案可為：4、2、1、1.

（3）由題意，得：a=m+3n，b=2mn

∵4=2mn，且m、n為正整數，

∴m=2，n=1或者m=1，n=2，

∴a=2+3×1=7，或a=1+3×2=13.