Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，點P在AC上，AP=2，若⊙O的圓心在線段BP上，且⊙O與AB、AC都相切，
求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)AC與⊙O相切于點D，連接OD，AO．在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，得BC=6，再證明BC=PC，所以可求∠BPC=45°．設(shè)⊙O的半徑是r，根據(jù)三角形ABP的面積的兩種表示方法，得2r+10r=12，解方程即可求解．
解答：解：設(shè)AC與⊙O相切于點D，連接OD，AO，⊙O的半徑是r，
∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∵PC=8-2=6，
∴BC=PC；
∴∠BPC=45°，
∴S_△APB=S_△APO+S_△AOB=S_△ABC-S_△BCP，
即×2r+×10r=×6×8-×6×6，
2r+10r=12，
解得r=1．
∴⊙O的半徑是1．
點評：本題考查了勾股定理的運用，熟練運用勾股定理，根據(jù)已知條件發(fā)現(xiàn)特殊直角三角形，運用三角形面積的不同表示方法列方程求解是解題的關(guān)鍵．