Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=3，AC=4，D在AC上，CD=1，P是邊AB上的一動點，設BP=m．
（1）如圖甲，當m為何值時，△ADP與△ABC相似；
（2）如圖乙，延長DP至點E，使EP=DP，連結AE，BE．
①四邊形AEBC的面積S會隨m的變化而變化嗎？若不變，求出S的值；若變化，求出S與m的函數關系式；
②作點E關于直線AB的對稱點Eˊ，連結BD，當∠DBA=2∠DEEˊ時，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據若△ADP與△ABC相似，則或，列出算式，再計算即可．
（2）①四邊形AEBC的面積S不變，分別過D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，則∠DGP=∠EHP=90°，再根據∠GPD=∠HPE，DP=EP，得出△DGP≌△EHP，DG=EH，再根據sin∠BAC=，求出EH=DG=×3，最后根據S_{四邊形AEBC}=S_△ABC+S_△ABE代入計算即可；
 ②當E'在D的上方時，則 P E'=PE=PD，∠D E'E=90°，再根據∠DPE'=2∠DEE'=∠ABD，∠PDE'=∠PE'D，得出∠PDE'=∠BPD=∠PE'D=∠BDP，BP=BD=，即可求出m，
當E'在D的下方時，記BD與PE'交于點F，先求出DE'=2PG=2（），再根據BD=BF+DF=BP+DE'=m+=，求出m即可．
解答：解：（1）若△ADP與△ABC相似，
則=或=，
=或=，
∴m=或m=，
綜上所述，當或時，△ADP與△ABC相似；

（2）；①四邊形AEBC的面積S不變，且S=，
理由如下：如圖①：
分別過D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H為垂足，
∴∠DGP=∠EHP=90°，
又∵∠GPD=∠HPE，DP=EP，
∴△DGP≌△EHP，
∴DG=EH，
∵sin∠BAC===，
∴EH=DG=×3=，
∴S_{四邊形AEBC}=S_△ABC+S_△ABE=×3×4+×5×=；
 
②當E'在D的上方時，如圖②
由題意，得 P E'=PE=PD，∠D E'E=90°，
∴∠DPE'=2∠DEE'=∠ABD，∠PDE'=∠PE'D
∴∠PDE'=∠BPD=∠PE'D=∠BDP
∴BP=BD==
∴；
當E'在D的下方時，如圖③，記BD與PE'交于點F
由（2）①，得 BF=BP，DF=DE'，
DE'=2PG=2（5-m-）=-2m，
∴BD=BF+DF=BP+DE'
=m+-2m，
=-m=，
∴m=；
綜上所述，當m=或m=時，∠DBA=2∠DEE'．
點評：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質、勾股定理、銳角三角函數等，關鍵是根據題意畫出圖形，列出算式．