Question

如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點（點O不與A、C兩點重合），過點O作直線MN∥BC，直線MN與∠BCA的平分線相交于點E，與∠DCA（△ABC的外角）的平分線相交于點F．
（1）OE與OF相等嗎？為什么？
（2）探究：當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．
（3）在（2）中，當∠ACB等于多少時，四邊形AECF為正方形．（不要求說理由）

Answer 1

分析：（1）角平分線到角兩邊的距離相等，再利用全等三角形即可求解．
（2）探究性問題，歸根究底還是對矩形性質的判定，再平行四邊形的基礎上，加上其對角線平分且相等即可．
（3）正方形的判定，在（2）的基礎上，即在矩形的基礎上補充對角線垂直即可．

解答：解：（1）如圖所示：作EG⊥BC，EJ⊥AC，FK⊥AC，FH⊥BC，
因為直線EC，CF分別平分∠ACB與∠ACD，所以EG=EJ，FK=FH，
在△EJO與△FKO中，

∠AOE=∠CON ∠EJO=∠FKO EJ=FK

，
所以△EJO≌△FKO，即OE=OF（3分）

（2）當OA=OC，OE=OF時，四邊形AECF是矩形，
證明：∵OA=OC，OE=OF，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
又∵直線MN與∠BCA的平分線相交于點E，與∠DCA（△ABC的外角）的平分線相交于點F．
∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠FCD，
由∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠FCD=180°，
∴∠ECA+∠ACF=90°，即∠ECF=90°，
∴四邊形AECF為矩形；（3分）

（3）由（2）可知，四邊形AECF是矩形，要使其為正方形，再加上對角線垂直即可，即∠ACB=90°（10分）

點評：掌握角平分線到角兩邊距離相等，以及正方形，矩形的性質及判定定理．