Question

【題目】在矩形中，，，是的一點(diǎn)，且，是上一點(diǎn)，射線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)，，交于點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，則 ， ；（直接寫(xiě)出答案）

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的值是否會(huì)變化，若不變，求出它的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）8，；（2）不變，；（3）或1或

【解析】

如圖1，過(guò)G作GH⊥AD于H，先證明AE=AM=2，得∠AEM=∠DEF=45°，則DF=DE=8，再求CG的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理計(jì)算EG的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)ME⊥EG，證明△AME∽△HEG，△EHG∽△FDE，可得，可得∠EGM=∠EFG．可得∠MGF=90°，由三角函數(shù)定義可得結(jié)論；

（3）設(shè)AM=m，則BM=4-m，DF=4m，證明△MBG∽△GCF，表示CG=8-2m，BG=2+2m．分三種情況進(jìn)行討論，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理和三角函數(shù)定義列等式可得結(jié)論．

（1）如圖1，過(guò)G作GH⊥AD于H，

∵點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，AB=4，

∴AM=2，

∵AE=2，

∴AE=AM=2，

∴DE=10-2=8，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠CDA=90°，

∴∠AEM=∠DEF=45°，

∴DF=DE=8，

∵EG⊥ME，

∴∠MEG=90°，

∴∠HEG=∠EGH=45°，

∴GH=EH=4，

∴，

故答案為： 8，

（2）∵

∴，

∴，

∴，

∴∠EGM=∠EFG．

∴∠EGM=∠EFG．

∵∠EGF+∠EFG=90°，

∴∠EGF+∠EGM=90°，即∠MGF=90°，

∴．

（3）設(shè)，則，，∴．

∵，∴，

∴，

∴，．

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，

∴．

∵，∴，即

∴

解得或（舍去）．

（ⅱ）當(dāng)是，．

∵，∴，

∴．

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，

∴，

∴．

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，．

∵，∴，

∴

∴

∴．

綜上所述：當(dāng)或1或時(shí)，為等腰三角形．