Question

（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．
下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．
證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE．
（下面請你完成余下的證明過程）
（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是∠ACP的平分線上一點，則∠AMN=60°時，結論AM=MN是否還成立？請說明理由．
（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X，請你作出猜想：當∠AMN=______時，結論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據全等三角形的對應邊成比例得出AM=MN．
（2）同（1），要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據全等三角形的對應邊成比例得出AM=MN．
（3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多邊形的一個內角即等于時，結論AM=MN仍然成立．
解答：（1）證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．
∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，
BE=AB-AE=BC-MC=BM，
∴∠BEM=45°，∴∠AEM=135°．
∵N是∠DCP的平分線上一點，
∴∠NCP=45°，∴∠MCN=135°．
在△AEM與△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN．

（2）解：結論AM=MN還成立
證明：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．
在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC．
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE，
BE=AB-AE=BC-MC=BM，
∴∠BEM=60°，∴∠AEM=120°．
∵N是∠ACP的平分線上一點，
∴∠ACN=60°，∴∠MCN=120°．
在△AEM與△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN．

（3）解：若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X，則當∠AMN=時，結論AM=MN仍然成立．
點評：本題綜合考查了正方形、等邊三角形的性質及全等三角形的判定，同時考查了學生的歸納能力及分析、解決問題的能力．難度較大．