Question

如圖，直線y=kx-2與x軸、y軸分別交于B、C兩點，OB：OC=

1

2

．
（1）求B點的坐標和k的值．
（2）若點A（x，y）是第一象限內的直線y=kx-2上的一個動點，當點A運動過程中，
①試寫出△AOB的面積S與x的函數關系式；
②探索：當點A運動到什么位置時，△AOB的面積是1；
③在②成立的情況下，x軸上是否存在一點P，使△POA是等腰三角形？若存在，請寫出滿足條件的所有P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得直線y=kx-2與y軸的交點，則OC的長度即可求解，進而求得B的坐標，把B的坐標代入解析式即可求得k的值；
（2）①、②根據三角形的面積公式即可求解；
③分O，P，A分別是等腰三角形的頂角頂點三種情況進行討論，利用等腰三角形的性質即可求解．

解答：解：（1）在y=kx-2中，令x=0，則y=-2，故C的坐標是（0，-2），OC=2，
∵OB：OC=

1

2

，
∴OB=1，則B（1，0），
把點B的坐標代入y=kx-2，得
k-2=0，
解得：k=2；
綜上所述，B的坐標是（1，0），k=2；

（2）①OB=1，
則S=

1

2

•OB•y_A=

1

2

×1×（2x-2）=x-1，即S=x-1

②根據題意得：

1

2

•OB•y_A=1，即

1

2

×1×（2x-2）=1，
解得，x=2，則A的坐標是（2，2）；

③存在這樣的點P．理由如下：
由②知，A的坐標是（2，2），則OA=

22+22

=2

2

．
i）如圖1，當O是△AOP的頂角頂點時（OA=OP），P的坐標是（-2

2

，0）或（2

2

，0）；
ii）當A是△AOP的頂角頂點時（AO=AP），P與過A的與x軸垂直的直線對稱，則P的坐標是（4，0）；
iii）當P是△AOP的頂角頂點時（PA=PO），設P（x，0），則
x=

(x-2)2+22

，
解得，x=2，
則P（2，0）．
綜上所述，符合條件的點P的坐標是：（-2

2

，0）或（2

2

，0）或（4，0）或（4，0）．

點評：本題考查了一次函數與等腰三角形的性質，待定系數法求函數的解析式，正確進行討論是關鍵．