Question

如圖，在平行四邊形ABCD中（AB≠BC），直線EF經過其對角線的交點O，且分別交AD、BC于點M、N，交BA、DC的延長線于點E、F，
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若AM：DM=2：3，△ONC的面積為2cm²，求△AEM的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AB∥CD，OA=OC，由平行線的性質，可得∠E=∠F，然后由AAS即可判定△AOE≌△COF；
（2）由△AOE≌△COF，可得OE=OF，易證得△AOM≌△CON，△AEM∽△DFM，即可得OM=ON，EM：FM=AM：DM=2：3，即可得EM：OM=4，又由△ONC的面積為2cm²，根據等高三角形的面積比等于對應底的比，即可求得△AEM的面積．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠E=∠F，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（AAS）；

（2）解：∵AB∥CD，
∴△AEM∽△DFM，
∴EM：FM=AM：DM=2：3，
∵△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵AD∥BC，
∴∠AMO=∠CNO，
在△AOM和△CON中，
∵，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴OM=ON，
即EM=FN，
設EM=2x，FM=3x，則FN=2x，OM=ON=MN=（FM-FN）=x，
∴EM：OM=2x：x=4，
∵S_△ONC=2cm²，
∴S_△OAM=2cm²，
∴S_△AEM=4S_△ONC=4×2=8（cm²）．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的性質以及三角形面積的求解方法．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．