Question

【題目】在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為AB上一點，連結CD，將CD繞C點逆時針旋轉90°至CE，連結DE，過C作CF⊥DE交AB于F，連結BE．

（1）求證：AD＝BE；

（2）求證：AD2+BF2＝DF2；

（3）若∠ACD＝15°，CD＝+1，求BF．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)

【解析】

（1）將CD繞C點逆時針旋轉90°至CE，可得△DCE是等腰直角三角形，再判定△ACD≌△BCE（SAS），即可得出AD=BE；

（2）連接FE，根據CF是DE的垂直平分線，可得DF=EF，再根據Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，即可得出AD2+BF2=DF2；

（3）根據∠BDE=15°=∠DEF，可得∠BFE=30°，設BE=x，則BF=x，EF=2x=DF，再根據Rt△BDE中，x2+（2x+x）2=（+）2，即可解得x=1，進而得到BF=．

（1）將CD繞C點逆時針旋轉90°至CE，可得△DCE是等腰直角三角形，

∴∠DCE＝∠ACB＝90°，DC＝EC，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE；

（2）如圖，連接FE，

∵CF⊥DE，△DCE是等腰直角三角形，

∴CF是DE的垂直平分線，

∴DF＝EF，

又∵△ACD≌△BCE，∠ABC＝45°，

∴∠CBE＝∠A＝45°＝∠ABC，

∴∠EBF＝90°，

∴Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，

∴AD2+BF2＝DF2；

（3）∵CD＝+1，△DCE是等腰直角三角形，

∴DE＝，

∵∠ACD＝15°，∠A＝∠CDE＝45°，

∴∠BDE＝15°＝∠DEF，

∴∠BFE＝30°，

設BE＝x，則BF＝x，EF＝2x＝DF，

∴Rt△BDE中，x2+（2x+x）2＝（+）2，

解得x＝1，

∴BF＝．