Question

如圖，在線段AE的同側作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），連接EG并延長交DC于點M，作MN⊥AB，垂足為N，MN交BD于點P．設正方形ABCD的邊長為1．
（1）證明：△CMG≌△NBP；
（2）設BE=x，四邊形MGBN的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；
（3）如果按照題設方法作出的四邊形BGMP是菱形，求BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據四邊形ABCD是正方形，可得∠ABD=45°，同理∠BEG=45°再求證四邊形BCMN是矩形，然后即可判定△CMG≌△NBP，
（2）根據正方形BEFG，從而可得CM=1-x，然后得y=（BG+MN）•BN即可．
（3）由已知易得四邊形BGMP是平行四邊形，要使四邊形BGMP是菱形則BG=MG，可得，解得x即可．
解答：證明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠C=∠CBA=90°，∠ABD=45°，
同理∠BEG=45°，
∵CD∥BE，
∴∠CMG=∠BEG=45°，
∵MN⊥AB，垂足為N，
∴∠MNB=90°，
∴四邊形BCMN是矩形，
∴CM=NB，
又∵∠C=∠PNB=90°，∠CMG=∠NBP=45°，
∴△CMG≌△NBP；

（2）∵正方形BEFG，
∴BG=BE=x，
∴CG=1-x，
從而CM=1-x，
∴（0＜x＜1）；

（3）由已知易得MN∥BC，MG∥BP，
∴四邊形BGMP是平行四邊形，
要使四邊形BGMP是菱形，則BG=MG，
∴，
解得，
∴時四邊形BGMP是菱形．
點評：此題主要考查正方形的性質，根據實際問題咧二次函數關系式，全等三角形的判定與性質，菱形的性質等知識點的理解和掌握，綜合性較強，而且有一定的拔高難度，屬于難題，要求學生做題時一定要仔細，認真．