Question

如圖，在線段AE的同側作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），連接EG并延長交DC于M，過M（1，-1）作MN⊥AB，垂足為N，MN交BD于P．
（1）找出圖中一對全等三角形，并加以證明（正方形的對角線分正方形得到的兩個三角形除外）；
（2）設正方形ABCD的邊長為1，按照題設方法作出的四邊形BGMP，若是菱形，求BE的長．

Answer 1

分析：根據題意先求得∠CGM=45°，再得到DM=BG，從而得出△DMP≌△EBG，再利用勾股定理和菱形的性質解答．

解答：解：（1）△DMP≌△EBG．
證明：∵四邊形ABCD和四邊形BEFG均為正方形，
∴DC=BC，∠C=∠GBE=90°，
∠CDB=∠BEG=∠BGE=45°，
∴∠CGM=45°，
∴∠CMG=∠CGM，
∴CM=CG，
∴DM=BG，
∵MN⊥AB，
∴∠DMP=90°．
∴∠DMP=∠GBE=90°．
∴△DMP≌△EBG．

（2）解法一：設正方形BEFG的邊長為x，
∵BGMP是菱形，
則DM=MP=BG=MG=x，MC=CG=1-x，
在Rt△MCG中，有（1-x）²+（1-x）²=x²
即x²-4x+2=0
解這個方程得x₁=2-

2

，x₂=2+

2

∵BE＜AB，
∴x₂=2+

2

舍去．
∴當正方形BEFG的邊長為2-

2

時，四邊形BGMP是菱形．

解法二：設正方形BEFG的邊長為x，
∵BGMP是菱形，
∴DM=MP=MG=BG=x．
∴MC=CG=1-x．
在Rt△MCG中，
∵°CMG=45°，
∴sin∠CMG=

CG

MG

．
即

2

2

=

1-x

x

．
∴x=

2

2+ 2

=2-

2

．
∴當正方形BEFG的邊長為2-

2

時，四邊形BGMP是菱形．

點評：此題較復雜，但充分利用題目所給的條件，根據勾股定理或三角函數列出方程即可解答．解答此題，不要局限于一種方法，可以多試幾種方法，以提高解題的“含金量”．