Question

（2005•新疆）如果二次函數y=ax²+2x+c的圖象的最高點是M（x，y），并且二次函數圖象過點P（1，），若x取x±n（n=1，2，3…）時，相應的函數值為y-n²．
（1）求二次函數的解析式并畫出圖象；
（2）若二次函數圖象與x軸的交點為A、B，求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）二次函數解析式只涉及兩個待定系數a，c．把x=1，y=及由頂點x=-，y=；得x=x±n=-±n，y=y-n²=-n²．分別代入二次函數解析式即可；
（2）△PAB的面積=AB×點P的縱坐標÷2．
解答：解：（1）將P（1，），代入y=ax²+2x+c中得a+c+2=，
并且a＜0，
∴x=-，y==，
∴y=ax²+2x+c=a（x+）²+．
當x=x±n時，y=y-n²．
代入y=ax²+2x+c=a（x+）²+
得：y-n²=a（x±n+）²+，
整理得：an²+n²=0，
解得：a=-，
把a=-代入a+c+2=得：c=0，
∴y=-x²+2x；

（2）由拋物線解析式可知A（0，0），B（4，0），又P（1，），
∴S_△PAB=×4×=3．
點評：主要考查了用待定系數法求二次函數解析式，涉及的字母多，運算有一定難度，在確定了拋物線解析式后，可根據圖形及相應點的坐標求面積．