Question

如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求證：BD是⊙O的切線．
（2）若點E是劣弧上一點，AE與BC相交于點F，且∠ABE=105°，BD=2，求出AE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BO，根據三角形的內角和定理可判斷△DOB是直角三角形，則∠OBD=90°，BD是⊙O的切線；
（2）過點B作BH⊥AE于H，有（1）可知BD是⊙O的切線，設AH=BH=x，利用銳角三角函數出AH，再求勾股定理求出HE，進而求出AE 的值．
解答：（1）證明：連接OB   如圖1
∵AB=AD=AO，
∴∠DBA=∠D，∠ABO=∠AOB，
∵∠DBA+∠D+∠ABO+∠AOB=180°，
∴∠DBA+∠ABO=90°，
∴OB⊥BD，
∵點B在⊙O，
∴BD是⊙O的切線；

（2）解：過點B作BH⊥AE于H．如圖2，
∵AB=AO，AO=OB，
∴AB=AO=OB，
∴△ABO為等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠AOB=2∠C，
∴∠C=30°，
∵BD是⊙O的切線，
∴BD⊥OB，∴∠DBO=90°，
∴∠D=30°，
∴OD=2OB，∵DB=，
∴OB=2，
∴AB=2，
∵∠E=∠C，
∴∠E=30°，
∵∠ABE=105°，
∴∠BAE=45°，
∴∠ABH=∠BAE=45°
∴AH=BH，
設AH=BH=x，
∵在Rt△ABH中，sin∠BAH=，
∴BH=AB•sin45°=2×=，
∴AH=，
在Rt△ABH中，BE=2BH=，
由勾股定理得：HE=，
∴AE=+．
點評：本題綜合考查了圓的切線的性質和判定、等邊三角形的性質、勾股定理以及銳角三角函數等內容，是一個綜合較強的題目．