Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，⊙O1與x軸相切于點A（﹣3，0），與y軸相交于B、C兩點，且BC＝8，連接AB．

（1）求證：∠ABO1＝∠ABO；

（2）求AB的長；

（3）如圖2，⊙O2經過A、B兩點，與y軸的正半軸交于點M，與O1B的延長線交于點N，求出BM﹣BN的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB＝；（3）BM﹣BN的值為2．

【解析】

（1）連接AO1根據切線的性質，∠OAO1＝90°，因為∠AOB＝90°，根據平行線的判定方法，可以判定AO1∥OB，得到∠ABO＝∠O1AB，再根據O1A＝O1B，即可推導判斷出∠ABO1＝∠ABO；

（2）過點O1作O1H⊥BC于H，判斷出四邊形AO1HO是矩形，根據勾股定理求出O1B與AB即可.

（3）作點B關于x軸的對稱點B',根據對稱性可知OB'＝OB＝1，AB＝AB'，根據等角的補角相等得出∠ABN＝∠AB'M，根據圓周角定理判斷出∠AMB'＝∠N，最后判斷△AMB'≌△ANB，得出結論MB'＝NB，最后計算求解即可.

（1）證明：如圖，連接AO1，

∵⊙O1與x軸相切于點A，

∴∠OAO1＝90°，

又∠AOB＝90°，

∴∠OAO1+∠AOB＝180°，

∴AO1∥OB，

∴∠ABO＝∠O1AB，

∵O1A＝O1B，

∴∠O1AB＝∠ABO1，

∴∠ABO1＝∠ABO；

（2）解：如圖，過點O1作O1H⊥BC于H，

則CH＝BH＝BC＝4，

∴∠O1HO＝∠HOA＝∠OAO1＝90°，

∴四邊形AO1HO是矩形，

∴AO1＝AO＝3，

∴在Rt△O1HB中，

，

∴HO＝O1A＝O1B＝5，

∴OB＝HO﹣BH＝1，

∴在Rt△AOB中，

；

（3）解：如圖，作點B關于x軸的對稱點B'，則點OB'＝OB＝1，AB＝AB'，

∴BB'＝2，∠AB'O＝∠ABO

∴由（1）知，∠ABO＝∠ABO1，

∴∠ABO1＝∠AB'O，

∴180°﹣∠ABO1＝180°﹣∠AB'O，

即∠ABN＝∠AB'M，

又∵,

∴∠AMB'＝∠N，

∴△AMB'≌△ANB（AAS），

∴MB'＝NB，

∴BM﹣BN＝BM﹣B'M＝BB'＝2，

∴BM﹣BN的值為2．