Question

如圖，△ABC中，點D在AC上，CD=2AD，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，連接AE．已給的圖形中存在哪幾對相似三角形？請選擇一對進行證明．

Answer 1

【答案】分析：圖中有兩對相似三角形：（1）△ADE∽△AEC或（2）△BCD∽△ACB；
（1）首先由∠BDC=60°、CE⊥DE證得CD=2DE，由此可得出AD=DE，即∠DAE=∠DEA=30°，即可證得∠DEA=∠ECA=30°，加上公共角∠EAC，即可判定兩個三角形相似；
（2）同（1）可證得∠EAC=∠ECA=30°，進一步可證得∠EBA=∠EAB=15°；由此可得出AE=BE=CE，即△CEB是等腰Rt△；則∠CBE=45°=∠BAC，再加上公共角∠BCD，即可判定兩個三角形相似．
解答：解：
圖中相似三角形有△ADE∽△AEC或△BCD∽△ACB兩對．（2分）
證明（1）△ADE∽△AEC．
∵CE⊥BD于E，
∴∠CED=90°．
∵∠BDC=60°，
∴∠ECD=30°．
∴CD=2ED．（3分）
∵CD=2AD，
∴AD=ED．（4分）
∴∠DEA=∠DAE．
∵∠BDC=60°，
∴∠DEA=∠DAE=30°，
∴∠DEA=∠ECD=30°．（5分）
∵∠DAE=∠EAC，
∴△ADE∽△AEC．（6分）

證明（2）△BCD∽△ACB
提示：在證明△BCD∽△ACB時
證出①AE=CE，（給1分）
②AE=BE，（給到2分）
③∠CBD=45°，（給到3分）
④△BCD∽△ACB．（給到4分）
點評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質．