Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC = 4，AB邊上有一動點P(不與A、B重合)，連結DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點E，設AP=x．

⑴當x為何值時，△APD是等腰三角形？

⑵若設BE=y，求y關于x的函數關系式；

⑶若BC的長可以變化，在現在的條件下，是否存在點P，使得PQ經過點C？若存在，求出相應的AP的長；若不存在，請說明理由，并直接寫出當BC的長在什么范圍內時，可以存在這樣的點P，使得PQ經過點C．

 

Answer 1

⑴解：過D點作DH⊥AB于H  ，則四邊形DHBC為矩形，

∴DH=BC=4，HB=CD=6  ∴AH=2，AD=2?

∵AP=x，   ∴PH=x－2，

情況①：當AP=AD時，即x=2

情況②：當AD=PD時，則AH=PH

∴2=x－2，解得x= 4?

情況③：當AP=PD時，

則Rt△DPH中，x²=4²+(x－2)²，解得x=5

∵2<x<8，∴當x為2、4、5時，△APD是等腰三角形

⑵易證：△DPH∽△PEB

∴，∴  整理得：y=(x－2)(8－x)=－x²+x－4?

⑶若存在，則此時BE=BC=4，即y=－x²+x－4=4，整理得： x²－10x+32=0

∵△=(－10)²－4×32<0，∴原方程無解，

∴不存在點P，使得PQ經過點C

當BC滿足0＜BC≤3時，存在點P，使得PQ經過點C ?