Question

（2008•三明）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠BOC=108°，過點C作直線CD分別交直線AB和⊙O于點D、E，連接OE，DE=AB，OD=2．
（1）求∠CDB的度數；
（2）我們把有一個內角等于36°的等腰三角形稱為黃金三角形．它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金分割比．
①寫出圖中所有的黃金三角形，選一個說明理由；
②求弦CE的長；
③在直線AB或CD上是否存在點P（點C、D除外），使△POE是黃金三角形？若存在，畫出點P，簡要說明畫出點P的方法（不要求證明）；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊對等角找到三角形∠CDB和∠OCD的關系，列方程求解；
（2）①結合（1）求得各個角的度數，根據題意進行判斷；
②根據黃金比求值計算；
③此題要分別考慮OE為底和腰的情況．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，DE=AB，
∴OA=OC=OE=DE，
則∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC，
設∠CDB=x，則∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x，
又∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°，
∴x+2x=108，x=36°．
∴∠CDB=36°．

（2）①有三個：△DOE，△COE，△COD．
∵OE=DE，∠CDB=36°，
∴△DOE是黃金三角形；
∵OC=OE，∠COE=180°-∠OCE-∠OEC=36°．
∴△COE是黃金三角形；
∵∠COB=108°，
∴∠COD=72°；
又∠OCD=2x=72°，
∴∠OCD=∠COD．
∴OD=CD，
∴△COD是黃金三角形；

②∵△COD是黃金三角形，
∴，
∵OD=2，
∴OC=-1，
∵CD=OD=2，DE=OC=-1，
∴CE=CD-DE=2-（-1）=3-；

③存在，有三個符合條件的點P₁、P₂、P₃，
如圖所示，
ⅰ以OE為底邊的黃金三角形：作OE的垂直平分線分別交直線AB、CD得到點P₁、P₂；
ⅱ以OE為腰的黃金三角形：點P₃與點A重合．
點評：此題的知識綜合性較強，能夠熟記黃金比的值，根據黃金比進行計算．注意根據題目中定義的黃金三角形進行分析計算．