Question

（2008•三明）如圖，拋物線y=x²+bx-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；
（3）點M（m，0）是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，求m的值．
[注：拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標為（-，）．]．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為點A在拋物線上，所以將點A代入函數解析式即可求得；
（2）由函數解析式可以求得其與x軸、y軸的交點坐標，即可求得AB、BC、AC的長，由勾股定理的逆定理可得三角形的形狀；
（3）首先可求得二次函數的頂點坐標，再求得C關于x軸的對稱點C′，求得直線C′D的解析式，與x軸的交點的橫坐標即是m的值．
解答：解：（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=x²+bx-2上，
∴×（-1）²+b×（-1）-2=0，b=-
∴拋物線的解析式為y=x²-x-2
y=x²-x-2=（x²-3x-4）=（x-）²-，
∴頂點D的坐標為（，-）．（4分）

（2）當x=0時y=-2，
∴C（0，-2），OC=2．
當y=0時，x²-x-2=0，
∴x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0）．（6分）
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB²=25，AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，
∴AC²+BC²=AB²．
∴△ABC是直角三角形．  （8分）

（3）作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC′=2
連接C′D交x軸于點M，
根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最小．  （9分）
解法一：設拋物線的對稱軸交x軸于點E．
∵ED∥y軸，
∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴
∴，
∴m=12分
解法二：設直線C′D的解析式為y=kx+n，
則，
解得n=2，k=-．
∴y=-x+2．
∴當y=0時，-x+2=0，x=．
∴m=．  （12分）
點評：此題考查了待定系數法求解析式，考查了二次函數與一次函數的綜合應用，解題時要注意數形結合思想的應用．