Question

如圖，已知：AD是△ABC中BC邊的中線，則S_△ABD=S_△ACD，依據是______
規定；若一條直線l把一個圖形分成面積相等的兩個圖形，則稱這樣的直線l叫做這個圖形的等積直線．根據此定義，在圖1中易知直線為△ABC的等積直線．
（1）如圖2，在矩形ABCD中，直線l經過AD，BC邊的中點M、N，請你判斷直線l是否為該矩形的等積直線______（填“是”或“否”）．在圖2中再畫出一條該矩形的等積直線．（不必寫作法）
（2）如圖3，在梯形ABCD中，直線l經過上下底AD、BC邊的中點M、N，請你判斷直線l是否為該梯形的等積直線______（填“是”或“否”）．
（3）在圖3中，過M、N的中點O任作一條直線PQ分別交AD，BC于點P、Q，如圖4所示，猜想PQ是否為該梯形的等積直線？請說明理由．

Answer 1

解：依據是“等底等高的三角形面積相等”

（1）是．
（2）是．
（3）是．
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，PQ過M、N的中點O，
∴∠PMO=∠QNO，OM=ON，∠POM=∠QON，
∴△PMO≌△QNO．（ASA）
∴S_△PMO=S_△QNO．
由（2）可知，直線l為該梯形的等積直線．
由割補法可得

直線PQ為該梯形的等積直線．
分析：（1）（2）直線l應該是矩形或梯形的等積直線，因為經過直線l分割后矩形或梯形的高都沒變，而被分成的兩部分中每一部分的長或上下底的和都是原來的一半，因此，每部分的面積都是矩形或梯形的面積的一半．因此直線l是矩形或梯形的等積直線．
（3）和（2）的思路是一樣的，也是證明被直線分成的兩部分中每部分的上下底的和是原來的一半來得出結論的，參考（2）的做法，可通過證明三角形POM和NOQ全等，得出PM=NQ來證得．
點評：本題中主要考查了各圖形的面積計算方法以及全等三角形的判定，依據（2）的思路通過全等三角形來得到（2）的條件是第（3）題解題的關鍵所在．