Question

（1998•麗水）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，且a：b=3：4，a+b=c+4．
（1）求a、b長；
（2）若D是AB上的定點，以BD為直徑的⊙O恰好切AC于點E，求⊙O的半徑r；
（3）若⊙O的圓心O是AB上的動點，求⊙O的半徑r在怎樣的取值范圍內，能使⊙O與AC相切，且與BC所在直線相交？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據a：b=3：4，設a=3k，b=4k．根據勾股定理，得c=5k；再根據a+b=c+4，求得k的值，從而求得a，b的長；
（2）連接OE，得到OE⊥AC．根據OE∥BC，得到相似三角形，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求解；
（3）此題首先可以求得圓和AC，BC相切時，確定r的最小值，再進一步根據BC的長確定r的最大值．
解答：解：（1）設a=3k，b=4k．
根據勾股定理，得c=5k．
又a+b=c+4，
3k+4k=5k+4，
k=2．
則a=6，b=8．

（2）連接OE，得到OE⊥AC．
則OE∥BC．
∴，即，r=．

（3）設⊙O和AC，BC相切于點M，N．
連接OM，ON．
設此時圓的半徑是r，OB=x．
∵OM∥BC，
∴．
即．
∵ON∥AC，
∴．
即，
解得r=．
又BC=6，
所以＜r＜6．
點評：此題綜合運用了切線的性質和相似三角形的判定和性質．