Question

已知關于的一元二次方程．

（1）求證：當取不等于l的實數時，此方程總有兩個實數根．

（2）若是此方程的兩根，并且，直線：交軸于點A，交軸于點B，坐標原點O關于直線的對稱點O′在反比例函數的圖象上，求反比例函數的解析式．

（3）在（2）的成立的條件下，將直線繞點A逆時針旋轉角，得到直線′，′交軸于點P，過點P作軸的平行線，與上述反比例函數的圖象交于點Q，當四邊形APQO′的面積為時，求角的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明

∵為關于的一元二次方程

∴,即≠1

∴△＝

∴△≥0

∴當取不等于1的實數時,此方程總有兩個實數根．

∴,

（2）∵ 

∴

        又∵、是方程的兩根

∴

∵

∴

∴直線的解析式為

∴直線與軸交點A（－3,0）與軸交點B（0,3）

∴△ABO為等腰直角三角形

∴坐標原點O關于直線的對稱點O′的坐標為（－3,3）

∴反比例函數的解析式為

（3）解:設點P的坐標為（0,P）,延長PQ和AO′交于點G

∵PQ∥軸,與反比例函數圖象交于點Q

∴四邊形AOPG為矩形

∴Q的坐標為（,P）

∴G（－3,P）

當0°＜＜45°,即P＞3時

∵GP＝3，GQ＝3，GO′＝P－3，GA＝P

∴S_{四邊形APQO’} ＝S_△APG－S_△GQO’

             ＝×GA×GP－×GQ×GO’

             ＝×P×3－（3）×（P－3）

             ＝

∴ 

∴P＝

經檢驗,P＝ 符合題意

∴P（0，）

∴AP=6

點A關于軸的對稱點A′（3，0），連結A′P，

易得AP=PA′=6，又∵AA′=6

∴AA′=AP=A′P

∴∠PAO＝60°

∵∠BAO＝45°

∴＝∠PAO －∠BAO ＝60°－45°＝15°

當45°≤＜90°，即P＜－3時，

可類似地求得P=，這與P＜－3矛盾，所以此時點P不存在

∴旋轉角＝15°

【解析】（1）由方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0為一元二次方程，所以a≠0；要證明方程總有兩個實數根，即證明當a取不等于1的實數時，△＞0，而△=（2-3a）²-4×（a-1）×3=（3a-4）²，即可得到△≥0

（2）先利用求根公式求出兩根3，，再代入，可得到a=2，則m=1，n=3，直線l：y=x+3，這樣就可得到坐標原點O關于直線l的對稱點，代入反比例函數y=k/x ，即可確定反比例函數y=k/x 的解析式；

（3）延長PQ，AO′交于點G，設P（0，p），則Q（-9/p ，p）．四邊形APQO'的面積=

S_△APG-S_△QPO′=，這樣可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO=60°，這樣就可求出θ．