Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，點G在弧BD上，連接AG，交CD于點K，過點G的直線交CD延長線于點E，交AB延長線于點F，且EG=EK．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為13，CH=12，AC∥EF，求OH和FG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題（1）連接OG，首先證明∠EGK=∠EKG，再證明∠HAK+∠KGE=90°，進而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，進而證明EF是⊙O的切線；

（2）連接CO，利用勾股定理計算出HO的長，然后可得tan∠CAH=tan∠F=，再利用三角函數在Rt△OGF中計算出FG的長．

試題解析:（1）證明：連接OG，

∵弦CD⊥AB于點H，

∴∠AHK=90°，

∴∠HKA+∠KAH=90°，

∵EG=EK，

∴∠EGK=∠EKG，

∵∠HKA=∠GKE，

∴∠HAK+∠KGE=90°，

∵AO=GO，

∴∠OAG=∠OGA，

∴∠OGA+∠KGE=90°，

∴GO⊥EF，

∴EF是⊙O的切線；

（2）解：連接CO，在Rt△OHC中，

∵CO=13，CH=12，

∴HO=5，

∴AH=8，

∵AC∥EF，

∴∠CAH=∠F，

∴tan∠CAH=tan∠F=，

在Rt△OGF中，∵GO=13，

∴FG=．

考點: 1.切線的判定,2.解直角三角形.