Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形，E是AB的中點，連接CE并延長交AD于F．
（1）求證：①△AEF≌△BEC；②四邊形BCFD是平行四邊形；
（2）如圖2，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，HK為折痕，求sin∠ACH的值．

Answer 1

（1）證明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
在等邊△ABD中，∠BAD=60°，
∴∠BAD=∠ABC=60°．
∵E為AB的中點，
∴AE=BE．
又∵∠AEF=∠BEC，
∴△AEF≌△BEC．

②在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點，
∴CE=

1

2

AB，BE=

1

2

AB．
∴CE=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BCE=∠EBC=60°．
又∵△AEF≌△BEC，
∴∠AFE=∠BCE=60°．
又∵∠D=60°，
∴∠AFE=∠D=60°．
∴FC∥BD．
又∵∠BAD=∠ABC=60°，
∴AD∥BC，即FD∥BC．
∴四邊形BCFD是平行四邊形．

（2）∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，
∴∠CAH=90°．
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，設BC=a，
∴AB=2BC=2a．
∴AD=AB=2a．
設AH=x，則HC=HD=AD-AH=2a-x，
在Rt△ABC中，AC²=（2a）²-a²=3a²，
在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=（2a-x）²，
解得x=

1

4

a，即AH=

1

4

a．
∴HC=2a-x=2a-

1

4

a=

7

4

a．
∴sin∠ACH=

AH

HC

=

1 4 a

7 4 a

=

1

7

．