Question

如圖，點E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上的一個動點（不與B、D兩點重合），過點E作直線MN∥DC，交AD于M，交BC于N，連接AE，作EF⊥AE于E，交直線CB于F．
（1）如圖1，當點F在線段CB上時，通過觀察或測量，猜想△AEF的形狀，并證明你的猜想；
（2）如圖2，當點F在線段CB的延長線上時，其它條件不變，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
（3）在點E從點D向點B的運動過程中，四邊形AFNM的面積是否會發生變化？若發生了變化，請說明理由；若沒有發生變化，請求出其面積的值．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，且MN∥AB，
∴四邊形ABNM和四邊形MNCD都是矩形，
△NEB和△MDE都是等腰直角三角形．
∴∠AEF=∠ENF=90°，MN=BC=AB，EN=BN
∴MN-EM=AD-MD，
即EN=AM，
又∵∠AEM+∠FEN=90°，∠AEM+∠EAM=90°
∴∠EAM=∠FEN，
∵∠AME=∠ENF=90°，
∴△AME≌△ENF（ASA）；
∴AE=BE，
∵AE⊥EF，
∴△AEF是等腰直角三角形；

（2）由（1）同理可得：
∴BN=EN=AM，
∠AEM=∠EFN，
∵∠AME=∠ENF=90°
∴△AME≌△ENF（ASA）；
∴AE=BE，
∵AE⊥EF，
∴△AEF是等腰直角三角形；


（3）四邊形AFNM的面積沒有發生變化
（i）當點E運動到BD的中點時，
四邊形AFNM是矩形，S_{四邊形AFNM}=
（ii）當點E不在BD的中點時，點E在運動（與點B、D不重合）的過程中，四邊形AFNM是直角梯形．
由（1）知，△AME≌△ENF，
同理，圖（2），△AME≌△ENF，
∴FN=EM=DM．
∴FN+AM=DM+AM=AD=1
這時，S_{四邊形AFNM}=（FN+AM）•MN=
綜合（i）、（ii）可知四邊形AFNM的面積沒有發生改變，都是 ．
分析：（1）根據四邊形ABCD是正方形，BD是對角線，且MN∥BA，求證△DEM和△BNE都是等腰直角三角形．又利用EF⊥AE，可得∠EFN=∠AEM，然后即可求證，△AME≌△ENF；
（2）利用（1）中證法求出BN=EN=AM，∠AEM=∠EFN，即可得出答案；
（3）分兩種情況進行討論：（i）當點E運動到BD的中點時，利用四邊形AFNM是矩形，可得S_{四邊形AFNM}=
（ii）當點E不在BD的中點時，點E在運動（與點B、D不重合）的過程中，四邊形AFNM是直角梯形．由（1）知，△AME≌△ENF，
同理，圖（2）△AME≌△ENF，然后即可得出結論．
點評：此題主要考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質等知識點的理解和掌握，利用圖形進行分類討論得出是解題關鍵，此題有一定的拔高難度，屬于難題．