Question

【題目】如圖（1），在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點E是射線CD上的一個動點，把△BCE沿BE折疊，點C的對應點為F．

（1）若點F剛好落在線段AD的垂直平分線上時，求線段CE的長；
（2）若點F剛好落在線段AB的垂直平分線上時，求線段CE的長；
（3）當射線AF交線段CD于點G時，請直接寫出CG的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，MN是線段AD的中垂線，作FH⊥CD于H．

在Rt△BFM中，∵BF=BC=3，BM= ，

∴FM=CH= = ，設CE=EF=x，

在Rt△EFH中，∵EF2=FH2+HE2，

∴x2=（ ）2+（ ﹣x）2，

∴x= ，

∴CE=

（2）

解：如圖2中，MN是線段AB的中垂線，設EF=CE=x．

在Rt△BFM中，∵∠BMF=90°，BM=2，BF=BC=3，

∴MF= = ，

∵MN=BC=3，

∴FN=3﹣ ，EN=2﹣x，

在Rt△EFN中，∵EF2=FN2+NE2，

∴x2=（3﹣ ）2+（2﹣x）2，

∴x=

（3）

解：如圖3中，

欲求CG的最大值，只要求出DG的最小值即可，

∵DG=ADtan∠GAD，

∴∠GAD最小時，DG的值最小，

∵BF=BC，BF是定值，

∴當BF⊥AG時，∠BAF的值最大，即∠DAG的值最小，

當BF⊥AG時，易知點E與點G共點，

設CG=GF=x，

在Rt△ABF中，∵∠AFB=90°，AB=4，BF=BC=3，

∴AF= = ，

在Rt△ADE中，∵AD2+DG2=AG2，

∴32+（4﹣x）2=（ +x）2，

∴x=4﹣ ．

∴CG的最大值為4﹣ ，

故答案為4﹣

【解析】（1）如圖1中，MN是線段AD的中垂線，作FH⊥CD于H．設CE=EF=x，在Rt△EFH中，根據EF2=FH2+HE2 ， 構建方程即可解決問題．（2）如圖2中，MN是線段AB的中垂線，設EF=CE=x．在Rt△EFN中，根據EF2=FN2+NE2 ， 構建方程即可解決題．（3）欲求CG的最大值，只要求出DG的最小值即可，由DG=ADtan∠GAD，推出∠GAD最小時，DG的值最小，由BF=BC，BF是定值，推出當BF⊥AG時，∠BAF的值最大，即∠DAG的值最小，當BF⊥AG時，易知點E與點G共點，設CG=GF=x，在Rt△ADE中，根據AD2+DG2=AG2 ， 構建方程即可解決問題．