Question

將一個面積為1的等邊三角形挖去連接三邊中點所組成的三角形（如第①圖）后，繼續挖去連接剩余各個三角形三邊中點所成的三角形（如第②圖、第③圖）…如此進行挖下去，第④個圖中，剩余圖形的面積為

 

，那么第n（n為正整數）個圖中，挖去的所有三角形的面積和為

 

（用含n的代數式表示）．

Answer 1

分析：觀察這幾個圖，可以看出來，分別在每個圖形中，以每個小白三角形為一個基本圖形，那么在這個圖形中，就會有很多以一個白色三角形為基礎的圖形，從中發現規律在第N個圖形中，會有4ⁿ個基本形；也可以看出有3ⁿ白色三角形．那么剩余部分的面積為(

3

4

)n×大三角形的面積，然后即可求出挖去的所有三角形的面積和．

解答：解：觀察這幾個圖，可以看出來，分別在每個圖形中，以每個小白三角形為一個基本圖形，那么在這個圖形中，就會有很多以一個白色三角形為基礎的圖形．則可以觀察出規律，在第N個圖形中，會有4ⁿ個基本形；也可以看出有3ⁿ白色三角形．
那么剩余部分的面積就應該是：

3n

4n

×大三角形的面積，即(

3

4

)n×大三角形的面積，
那么第④個圖中，剩余圖形的面積為(

3

4

)4或

81

256

，
∵三角形的面積是1
第n（n為正整數）個圖中，挖去的所有三角形的面積和為：1-(

3

4

)n．
故答案為：(

3

4

)4或

81

256

；1-(

3

4

)n．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質和三角形中位線定理等知識點，解答此題的關鍵是求出剩余部分的面積為(

3

4

)n×大三角形的面積．然后問題可解．