Question

（2004•杭州）在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點，由D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．設DE=a，DF=b，且實數a，b滿足9a²-24ab+16b²=0，并有2^a2b=256⁶，∠A使得方程x²-x•sinA+sinA-=0有兩個相等的實數根．
（1）試求實數a，b的值；
（2）試求線段BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知：2^a2b=256⁶，則2^a2b=2⁴⁸，則a²b=48．化簡9a²-24ab+16b²=0得：（3a-4b）²=0，
則3a-4b=0，即3a=4b，則根據，可求得a與b的值；
（2）要求BC的長需求出BD和CD的長，知BD、CD分別是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜邊．
又知在△ABC中，AB=AC，則∠B=∠C，則根據三角函數只要知道∠B或∠C的讀數即可，要求∠B或∠C的讀數
需求的∠A的讀數，根據判別式可以求得∠A的讀數．
解答：解：（1）由條件有，解得；
（2）又由關于x的方程的判別式△=sin²A-sinA+=（sinA-）²=0，則sinA=，而∠A為三角形的一個內角，所以∠A₁=60°或∠A₂=120°    2分
當∠A=60°時，△ABC為正三角形，∠B=∠C=60°
于是分別在Rt△BDE和Rt△CDF中
有BD=，CD=
所以BC=BD+DC=．

當∠A=120°時，△ABC為等腰三角形，∠B=∠C=30°
同上方法可得BC=14．    3分

所以線段BC的長應為或14．
點評：考查了解直角三角形以及判別式的應用．