Question

已知：如圖，△ABC中，AB=4，D是AB邊上的一個動點，DE∥BC，連接DC，設△ABC的面積為S，△DCE的面積為S′．
（1）當D為AB邊的中點時，求S′：S的值；
（2）若設AD=x，

S′

S

=y，試求y與x之間的函數關系式及x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當D為AB中點時，DE是三角形ABC的中位線，DE：BC=1：2，而高線的比也是1：2，則三角形的面積的比就可以求出；
（2）根據相似三角形的性質，可以得到底邊DE、BC以及高線之間的關系，就可以求出面積的比．

解答：解：過A作AM⊥BC，交DE于點N，設AD=x，
根據DE∥BC，可以得到

DE

BC

=

AN

AM

=

AD

AB

=

x

4

，
則DE=

x

4

•BC，AN=

x

4

•AM；
（1）當D為AB中點時，DE是三角形ABC的中位線，
則DE=

1

2

BC，AN=

1

2

AM，而S_△ABC=S=

1

2

•AM•BC，
∴S_△DEC=S′=

1

2

•AN•DE，
∴S₁：S的值是1：4；

（2）作AM⊥BC，垂足為M，交DE于N點，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴

AN

AM

=

DE

BC

=

AD

AB

=

x

4

，
∴

MN

AM

=

4-x

4

，

S′

S

=（

1

2

•MN•DE）：（

1

2

•AM•BC）=

DE

BC

•

MN

AM

=

x

4

•

4-x

4

=

4x-x2

16

即y=-

x2

16

+

1

4

x，（0＜x＜4）．

點評：本題主要考查了相似三角形的性質以及三角形的面積的計算方法．正確表示出

S′

S

=

DE

BC

•

MN

AM

是解題關鍵．